Родился 21 июля 1923 года в г.Белозерске Вологодской области.

В 1938 году В. А. Грабежев окончил в Белозерске семилетнюю
школу, а затем педучилище и был призван в ряды РККА.

С июля по октябрь 1941 года он учился в Борисовском военно-инженерном училище в г.Архангельске. В звании младшего лейтенанта направлен на Южный фронт, где получил должность командира саперного взвода 1606-го строительного батальона 23-й Особой армии.

25 ноября 1941 года в бою за г.Батайск Ростовской области он получил тяжелое ранение. После лечения в течение следующего года командовал саперным взводом на Южном фронте. По состоянию здоровья был демобилизован.

В течение 1945–1946 годов был заведующим Бечевинского детского дома в Белозерском районе. В сентябре 1948 года поступил в Ленинградскую юридическую школу, затем в Ленинградский юридический институт.

Во время учебы в вузе Владимир Александрович пришел на работу в прокуратуру Белозерского района. Также занимался советско-партийной работой.

В 1965 году был избран народным судьей. Десять лет руководил коллективом Белозерского районного народного суда. С 1976 по 1982 год работал председателем Вологодского районного
народного суда.

Из характеристики 1977 года:
«За образцовое выполнение служебных обязанностей Грабежев В.А. три раза поощрялся министром юстиции РСФСР, председателем Верховного Суда РСФСР и четыре раза поощрен начальником отдела юстиции облисполкома и председателем областного суда».

В 1978 году В. А. Грабежеву было присвоено почетное звание «Заслуженный юрист РСФСР».

По истечении срока полномочий в должности судьи Владимир Александрович вернулся в прокуратуру Белозерского района и проработал там 3 года – до 1985 года.

Награжден медалями «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941– 1945 гг.» и «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.»