Александр Петрович родился в 1912 году.
С 1939 года работал судебным исполнителем 3 участка Устюженского района. Призван в РККА в августе 1941 года.

Служил в 24-м Гвардейском стрелковом ордена Ленина Краснознаменном полку 10-й гвардейской стрелковой Краснознаменной дивизии командиром отделения 2-й стрелковой роты. В 1943 году за мужество и отвагу, проявленные в боях при разгроме опорных пунктов на высоте «Сарай» на Мурманском направлении Карельского фронта награжден медалью «За отвагу».

В бою в ночь с 6 на 7 сентября, командуя отделением, успешно справился с задачей по блокировке дзота противника. Дзот был блокирован и взорван вместе с находившимися там фашистами.

В наступательных октябрьских боях 1944 года под командованием Барунина его отделение первым ворвалось в расположение противника в районе моста через реку Валас-Йоки. 8 октября 1944 года, отражая контратаку противника, Барунин уничтожил 3 гитлеровцев и прочно удержал захваченный рубеж. А 13 октября огнем автомата уничтожил 10 гитлеровцев.

За образцовое выполнение заданий награжден орденом Славы III степени.

В феврале 1945 года на 2-м Белорусском фронте в бою за населенный пункт Бишофсвальпе, и вплоть до вступления в город Руммельсбург 3 марта 1945 года Барунин со своим отделением первым врывался в траншеи противника, овладевал важными рубежами. Огнем автомата лично уничтожил 13 вражеских солдат и офицеров.

За проявленный героизм награжден орденом Славы II степени.